プロバビ

確率分布シミュレーション
&まとめ一覧表
（期待値、分散、母関数,Latexなど）

統計学確率

期待値	分散
0.00	1.00

確率分布選択

μ:平均	0
σ2:分散	1

x軸の範囲～

y軸の範囲～

確率分布まとめ一覧表

タイプ	確率分布	確率質量関数 or 確率密度関数	期待値	分散	確率母関数 or モーメント母関数	再生性	備考
離散型	ベルヌーイ分布	$p^x (1-p)^(1-x)$	$p$	$p(1-p)$	$ps+1-p$	〇
離散型	二項分布	$_n C_x p^x (1-p)^{(n-x)}$	$np$	$np(1-p)$	$(ps+1-p)^n$	〇	ベルヌーイ試行を繰り返したものが二項分布となる
離散型	ポアソン分布	$\frac{\lambda^x}{x!}e^{-\lambda}$	$\lambda$	$\lambda$	$e^{\lambda(s-1)}$	〇	二項分布のnが大きくなるとポアソン分布に近づく
離散型	超幾何分布	$\frac{_M C_x \times _{N-M} C_{n-x}}{_N C_n}$	$n\frac M N$	$n\frac M N \frac{N-M}{N}\frac{N-n}{N-1}$	$複雑なため省略$	×	Nが大きいと二項分布、M/Nが小さくnが大きいとポアソン分布に近づく
連続型	正規分布	$\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}$	$\mu$	$\sigma^2$	$e^{\mu t +\frac{\sigma^2 t^2}{2}}$	〇	μ=0、σ²=1とすると標準正規分布となる
連続型	対数正規分布	$\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}x}e^{-\frac{(\ln x-\mu)^2}{2\sigma^2}}$	$e^{\mu t +\frac{\sigma^2}{2}}$	$e^{2\mu t +\sigma^2(e^{\sigma^2}-1)}$	$存在しない$	〇	正規分布に従う確率変数の対数をとったものが対数正規分布となる
連続型	指数分布	$\lambda e^{-\lambda x}$	$\frac 1 \lambda$	$\frac{1}{\lambda^2}$	$\frac{1}{1-\frac t \lambda}$	×	過去の結果が後の結果に影響を与えない無記憶性がある
連続型	幾何分布	$(1-p)^{x-1}p$	$\frac 1 p$	$\frac{1-p}{p^2}$	$\frac{pe^t}{p^2}$	×	過去の結果が後の結果に影響を与えない無記憶性がある
連続型	ベータ分布	$\frac{1}{B(a,b)}x^{a-1}(1-x)^{b-1}$	$\frac{a}{a+b}$	$\frac{ab}{(a+b)^2(a+b+1)}$	$複雑なため省略$	×	二項分布の共役事前分布として使われる
連続型	カイ二乗分布	$\frac{1}{2^{n/2}\Gamma (\frac n 2)}e^{-x/2}x^{n/2-1}$	$k$	$2k$	$\frac{1}{1-2t)^{k/2}}$	〇	標準正規分布に従うk個の確率変数を二乗した和がカイ二乗分布となる
連続型	t分布	$\frac{1}{\sqrt k B(\frac k 2,\frac 1 2)}(1+\frac{x^2}{k})^{-\frac{k+1}{2}}$	$0$	$\frac{k}{k-2}$	$存在しない$	×	自由度kが大きくなると正規分布に近づく
連続型	F分布	$複雑なため省略$	$\frac{k_2}{k_2-2}$	$2(\frac{k_2}{k_2-2})^2\frac{k_1+k_2-2}{k_1(k_2-4)}$	$存在しない$	×	tが自由度kのt分布に従うとき、t²は自由度(1, k)のF分布に従う
連続型	連続一様分布	$\frac{1}{b-a}$	$\frac{b+a}{2}$	$\frac{(b-a)^2}{12}$	$\frac{e^{tb}-e^{ta}}{t(b-a)}$	×	モーメント母関数はt=0のときは1となる

確率分布のLatex表記一覧

確率分布	確率質量関数 or 確率密度関数	期待値	分散	確率母関数 or モーメント母関数
ベルヌーイ分布	p^x (1-p)^(1-x)	p	p(1-p)	ps+1-p
二項分布	_n C_x p^x (1-p)^{(n-x)}	np	np(1-p)	(ps+1-p)^n
ポアソン分布	\frac{\lambda^x}{x!}e^{-\lambda}	\lambda	\lambda	e^{\lambda(s-1)}
超幾何分布	\frac{_M C_x \times _{N-M} C_{n-x}}{_N C_n}	n\frac M N	n\frac M N \frac{N-M}{N}\frac{N-n}{N-1}	複雑なため省略
正規分布	\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}	\mu	\sigma^2	e^{\mu t +\frac{\sigma^2 t^2}{2}}
対数正規分布	\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}x}e^{-\frac{(\ln x-\mu)^2}{2\sigma^2}}	e^{\mu t +\frac{\sigma^2}{2}}	e^{2\mu t +\sigma^2(e^{\sigma^2}-1)}	存在しない
指数分布	\lambda e^{-\lambda x}	\frac 1 \lambda	\frac{1}{\lambda^2}	\frac{1}{1-\frac t \lambda}
幾何分布	(1-p)^{x-1}p	\frac 1 p	\frac{1-p}{p^2}	\frac{pe^t}{p^2}
ベータ分布	\frac{1}{B(a,b)}x^{a-1}(1-x)^{b-1}	\frac{a}{a+b}	\frac{ab}{(a+b)^2(a+b+1)}	複雑なため省略
カイ二乗分布	\frac{1}{2^{n/2}\Gamma (\frac n 2)}e^{-x/2}x^{n/2-1}	k	2k	\frac{1}{1-2t)^{k/2}}
t分布	\frac{1}{\sqrt k B(\frac k 2,\frac 1 2)}(1+\frac{x^2}{k})^{-\frac{k+1}{2}}	0	\frac{k}{k-2}	存在しない
F分布	複雑なため省略	\frac{k_2}{k_2-2}	2(\frac{k_2}{k_2-2})^2\frac{k_1+k_2-2}{k_1(k_2-4)}	存在しない
連続一様分布	\frac{1}{b-a}	\frac{b+a}{2}	\frac{(b-a)^2}{12}	\frac{e^{tb}-e^{ta}}{t(b-a)}