検証!モンティホール問題

シミュレーション

ルールの説明

1. 3枚のカードのうち、裏に車の絵が描かれた当たりカードが1枚、ヤギの絵が描かれたハズレカードが2枚あります
2. 3枚のカードの中から1枚を選んでください
3. 選ばれなかった2枚のカードのうち、ハズレカードが裏返されます
4. 残った2枚の中から1枚を選んでください（選択肢を変更することもできます）
5. 当たりカードを選んでいれば成功です

設定変更からカードの枚数や理論値の表示などを設定できます。開ける最大枚数とは最初の選択後に開ける枚数です。

モンティホール問題の解説

この問題はアメリカのバラエティ番組「Let's Make a Deal」で出された問題です。そのときの司会者がモンティ・ホールという人物だったためモンティ・ホール問題と呼ばれるようになりました。

直感的には2回目の選択で選択肢を変更してもそのままにしても当たる確率は変わらないように感じます。しかし当たる確率は選択肢を変更したほうが高くなります。

実際に100回以上シミュレーションしてみると選択肢を変更したときのほうが当たった回数が多くなるはずです。

設定を変更してみるとわかりやすい

このことはカードの枚数を100枚、当たりの枚数を1枚、開ける最大枚数を98枚に変更してみると直感的にもわかりやすくなります。

1回目の選択で当たりのカードを選ぶ可能性はとても低いです。選択後、当たり以外の98枚のが開かれます。そうすると選択したカード以外にもう一枚だけ不自然に閉じたままのカードが残ります。

こうなると選択肢をそのままにするよりも、この不自然に閉じたままのカードを選択したほうが当たりやすいことが直感的にもわかります。

ベイズの定理での解説

ベイズの定理は次の式で表されます。
$P(A \mid B) ~=~ \dfrac{P(B \mid A)P(A)}{P(B)}$

$P(A)$と$P(B)$はAの確率とBの確率という意味です。

$P(A \mid B)$はBという条件が起こった場合のAの確率を意味します。

同様にして$P(B \mid A)$はAという条件が起こった場合のBの確率を意味します。

モンティホール問題をベイズの定理にあてはめる

左のカードから1番、2番、3番と名前を付けておきます。

1番のカードを選択して、その後2番のカードが開いたとします。つまり、当たりのカードは1番か3番のどちらかということになります。

1番のカードが当たりである確率と3番が当たりである確率をベイズの定理を使って求めてみます。

1番のカードが当たりである場合

この場合、ベイズの定理の式を言葉で表してみると次のようになります。
$2番が開かれた場合に1番が当たりである確率 ~=~ \dfrac{1番が当たりの場合に2番が開かれる確率 \times 1番が当たりである確率}{2番が開かれる確率}$

この右辺のそれぞれの確率を求めていきます。

1番が当たりの場合に2番が開かれる確率

開くことのできるカードは2番か3番であり、そのうちのどちらかがランダムに選ばれ開かれます。よって、1番が当たりの場合に2番が開かれる確率は$1/2$です。

1番が当たりである確率

3枚のカードのうち1枚がランダムに選ばれて当たりのカードとなります。よって、1番が当たりである確率は$1/3$です。

2番が開かれる確率

これは1番が当たり且つ2番が開かれる確率と、3番が当たり且つ2番が開かれる確率を足したものです。

1番が当たり且つ2番が開かれる確率は、上で求めた確率を掛け合わせた$1/2\times1/3=1/6$です。

3番が当たり且つ2番が開かれる確率は、3番が当たりの場合に2番が開かれる確率×3番が当たりである確率であるため、$1\times1/3=1/3$です。（3番が当たりの場合に2番が開かれる確率は後で説明します）

よって、2番が開かれる確率は$1/6+1/3=1/2$です。

2番が開かれた場合に1番が当たりである確率

これらの確率をベイズの定理にあてはめます。2番が開かれた場合に1番のカードが当たりである確率を計算すると次のようになります。
$\dfrac{1/2 \times 1/3}{1/2} ~=~ 1/3$

3番のカードが当たりである場合

上の方法と同じように計算していきます。
$2番が開かれた場合に3番が当たりである確率 ~=~ \dfrac{3番が当たりの場合に2番が開かれる確率 \times 3番が当たりである確率}{2番が開かれる確率}$

3番が当たりの場合に2番が開かれる確率

今、1番のカードを選択していて3番のカードが当たりだった場合、開くことのできるカードは2番しかありません。よって3番が当たりの場合に2番が開かれる確率は$1$です。

3番が当たりである確率

3枚のカードのうち1枚がランダムに選ばれて当たりのカードとなります。よって、3番が当たりである確率は$1/3$です。

2番が開かれる確率

上で計算した2番が開かれる確率と同じなので$1/2$です。

2番が開かれた場合に3番のカードが当たりである確率

これらの確率をベイズの定理にあてはめて、2番が開かれた場合に3番のカードが当たりである確率を計算すると次のようになります。
$\dfrac{1 \times 1/3}{1/2} ~=~ 2/3$

それぞれの確率を比較する

これらより、1番のカードを選択したあと2番のカードが開いたとき、1番が当たりである確率は1/3、3番が当たりである確率は2/3です。

つまり選択肢をそのままにするより、別なものに変更したほうが当たる確率が高くなります。