サイコロ確率

シミュレーター

&確率計算機

【多面体サイコロ対応】

使い方

サイコロを投げて出た目の回数と、その合計値の分布をヒストグラムで表示します。

サイコロの数は1～100個の間で増減できます。

出る目の確率を変更する場合は、確率の合計値が100％になるように設定してください。

サイコロで試す大数の法則

5個のサイコロを用意して10回だけ回してみます。

サイコロの出る目のそれぞれの確率は$1/6$なのでおよそ17％です。

実際に出た目の割合は20%以上のものがあったり、15%以下のものがあったりバラバラだと思います。

追加して回していって100回、回したとします。

さっきよりも出た目の割合は17％に近づいているはずです。

さらに200回、回したとすると出た目の割合はだいたい16%～18%くらいにおさまっていると思います。

このようにサイコロの回す回数を増やしていくと出た目の割合は理論的な確率に近づいていきます。

このことを大数の法則といいます。

サイコロの目が複数回出る確率

100個のサイコロを用意して回したとします。

1つの目が出る回数は$100 \times 1/6$でおおよそ17回くらいになりそうです。

しかし、実際に試してみると20回以上出る目も結構多くあります。

ではサイコロ100個を回して1つの目が20回以上でる確率はいくらになるでしょうか？

二項分布による計算

1の目が出る回数の場合で計算してみます。

1の目が出る回数は二項分布という確率分布になります。

サイコロの個数をn、1の目が出る回数をx、1の目が出る確率をpとすると、計算式は次のようになります。

1の目が出る確率が1/6であるサイコロ100個を回して、1の目が20回だけ出る確率は次のように計算します。

$_{100}C_{20}$は二項係数といい、次のように計算します。
$\frac{100\times 99\times 98\times ... \times 1}{20\times 19\times 18\times ... \times 1\times 80\times 79\times 78\times ... \times 1}$

これは手計算では大変なのでコンピュータに計算させましょう。

その結果、1の目が出る確率が1/6であるサイコロ100個を回して、1の目が20回だけ出る確率は6.8%となりました。

20回以上出る確率を求めるには、21回だけ出る確率、22回だけ出る確率、・・・100回だけ出る確率を求めてすべて足し合わせます。

このようにして計算した結果、1の目が出る確率が1/6であるサイコロ100個を回して、1の目が20回以上出る確率は22%となりました。

このくらいサイコロの個数であればコンピュータで一瞬で計算できます。

しかし、サイコロ1万個を回して、1の目が1700回だけ出る確率を計算するとしたらどうなるでしょうか？

式は次のようになります。
$\frac{10000\times 9999\times 9998\times ... \times 1}{1700\times 1699\times 41698\times ... \times 1\times 8300\times 8299\times 8298\times ... \times 1} \times{\frac 1 6}^{1700} (1-\frac 1 6)^{(10000-1700)}$

普通のパソコンやスマホでは桁が大きすぎて計算できなかったり、できたとしても計算に時間がかかってしまいます。なので別の計算方法を使います。

二項分布は正規分布に変身する

設定変更から「サイコロの個数」を20個、「ワンクリックで回す回数」を100回に変更してみてください。そして2000回ほど回してみます。（「回す」ボタンを20回押します。サイコロを非表示にすると処理が速くなります。）

「20個中で1の目が出た回数」のグラフを見ると次の二項分布のグラフと形が似ていると思います。

次に設定変更から「サイコロの個数」を100個に変更してみてください。先ほどと同じく2000回ほど回してみます。

「20個中で1の目が出た回数」のグラフを見ると、さっきよりも左右対称で山なりの形になったはずです。

これは正規分布という確率分布の形に似ています。

このことはサイコロの個数が増えると1の目が出る回数は二項分布から正規分布に変わることを意味しています。

正規分布による近似計算

サイコロ1万個を回して、1の目が5000回だけ出る確率を正規分布を使って計算します。

正規分布の式は次のようになります。
$\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}$

この式を任意の範囲で積分すると確率が求まります。

式は複雑ですが、計算量は多くないのでコンピュータであれば一瞬で計算できます。

その結果、サイコロ1万個を回して、1の目が5000回だけ出る確率は0.8%、1の目が5000回以上出る確率は18.9%となりました。